牛顿力学在17世纪就已经睁开患上至关成熟了，但为甚么在18世纪 ，受力迷信家们又建树起了另一套拉格朗日力学？ 9月29日12时，合成《张背阴的解力教学物理课》第一百七十七期开播，搜狐独创人 、学下董事局主席兼首席实施官、场张物理学博士张背阴坐镇搜狐视频直播间 ，背阴从光学的理课拉格朗日力学费马道理类比动身 ，剖析做作界存在对于某个熏染量取变分极值的若何绕过偏好 ，接着构建起拉格朗日力学系统 ，受力并举例剖析拉格朗日力学的合成啰嗦之处。
从费马道理重新审阅牛顿行动方程
在正式介绍拉格朗日力学前 ，解力教学张背阴先带巨匠回顾了牛顿力学是学下若何处置下场的 。在牛顿力学中 ，场张需要先对于物体做受力合成 ，背阴这些力的协力会反映到物体的减速率上 ，减速率a是速率v的变更率 ，速率v是位置矢量x的变更率 。举一个重大的例子 ，重物在重力熏染下逍遥落体。
（重物逍遥落体）
为重大起见 ，只思考竖直倾向的坐标 ，取竖直向下为正倾向建树x轴 ，这样就能把物体在t光阴的位置记为一个坐标x(t) ，不才面加一点展现坐标对于光阴求一阶导 ，患上到速率v ，再加一个点是求二阶导，患上到减速率a
用牛顿第二定律可能列出
很简略解出逍遥落体的行动方程为
以上是由牛顿定清晰进去的行动方程 ，它是x对于t的二次函数 ，画在x-t图中是一条抛物线 。
（行动道路多种抉择）
但无妨再斗果敢胆地想一想 ，假如如今不知道行动方程是奈何样样的 ，概况说，假如在另一个星球上知足另一条物理纪律 ，那末它的道路很可能再也不是t的平方 ，而是t的一次方概况三次方 。从尽头①到尽头②，有良多种可能的道路（图中红线） ，它与黑线差△x(t)。由于道路再也不禁牛顿定律判断，行动方程只能写成对于t的未知的函数
在这样的情景下 ，有无可能找到另一个条件，从这个新的动身点动身 ，能重新推导出牛顿定律呢 ？
回顾先前电能源学课上讲过的“分层理念” 。可能把电磁学量分成三层，第一层是电势以及磁矢势，第二层是电磁场，可能由第一层求时空偏导患上到 ，第三层是电磁场的散度以及旋度 ，与电荷以及电流直接相关 。麦克斯韦方程组可能用第二层以及第三层的量来形貌 ，也可能把第二层的量换成第一层来患上到更松散的方式 。相似地 ，力学中理当也可能找到x以及v眼前更底层的量，把牛顿定律写成另一种方式 。在这种脑子的开辟下 ，假如有一个标量函数F ，它与x以及v无关
这个函数对于光阴的积分会进去一个数
这样写至关于输入一个道路函数x(t)，它会经由被积函数F输入一个数S，这是从函数x(t)到数S的映射 ，称为泛函。
之以是想到妄想这样一个泛函 ，是由于在17世纪，光学规模已经提出了光的费马道理 。费马见告巨匠 ，设定光动身的尽头以及抵达的尽头，两点之间有良多可能的道路可能相连 ，那末光所走的着实道路确定是历时最短的那条 ，概况说 ，历时确定取在一个极值 。用这个道理可能把光在平均介质中沿直线转达、光的反射以及折射纪律都涵盖进去 。
光所走的历时是对于道路求积分患上出的一个泛函 。道路是一个函数 ，对于它输入自变量坐标它会输入因变量坐标 ，是数到数的映射 。而历时是一个泛函 ，对于它输入一个道路函数它会输入一个光阴 ，是函数到数的映射 。
假如把每一条可能的道路看做函数空间中的一个点 ，泛函便是输入一个函数空间中的点并输入一个数 。光所走的着实道路位于泛函取极值的中间 ，它的一阶变分为0，意思是说 ，把给泛函的输入 ，从代表光所走的着实道路的点稍作偏移 ，也即把道路稍微挪移一小段 ，泛函所输入的数值将简直巩固。这以及函数取极值时一阶导为0是同样的，这样的点称为驻点（stationary point），光所走的实际道路也称为stationary path。
类比光的费马道理 ，有无可能在力学中也计划一个标量函数F ，使患上物体在按着实行动方程行动时 ，输入的数S也取为极值呢 ？
从变分取极值推导行动方程 ，并用函数空间清晰驻点
有了想法 ，就能开始数学推导了。对于道路x(t)做变分，酿成x(t)+△x(t)后 ，F会响应地酿成F+△F ，S也会酿成S+△S 。这里只关注变更量 ，写出S的一阶变分为
尽管道路x(t)以及速率v(t)作为光阴的函数是有分割关连的，但F作为x以及v的二元函数 ，对于它们的依赖关连是自力的 。以是在审核F的变分时 ，理当先假如摁住速率v不动，思考△x的贡献 ，再摁住x不动，思考△v的贡献
在第二项对于速率的变分中，可能把变分以及对于光阴求导的挨次做一个交流
代回对于F的变分式 ，并将第二项凑玉成微分的方式
交流第二项以及第三项的位置 ，把以及△x线性相关的项放在一起 ，再代回对于S的变分式
上式写成为了两项 ，第二项是一个全微分 ，很简略积出服从 。由于在对于道路x的变分中已经牢靠了尽头以及尽头，
以是对于第二项积分后患上到的变更量是0。另一方面 ，这里要追寻的F的函数方式是使患上S在实际行动方程上取极值 ，概况说 ，它的一阶变分取0 ，是一个在输入函数x的函数空间中的驻点，这要求不论△x若何抉择，第一项的服从也依然是0 。以是方括号中的被积函数必需取为0，
（张背阴推导变分取极值的条件）
至此，张背阴从数学上推出了一个泛函S取极值时 ，它的被积函数F理当与道路x以及速率v具备何种关连 。尽管x以及v作为t的函数是相互依赖的 ，但F对于x以及v的函数关连是自力的 ，在思考F若何妄想时 ，可能用正交的x轴以及v轴代表所有可能道路的函数空间 。
每一个道路经由被积函数F对于应一个泛函S，它能画成函数空间中的一个曲面 。但这个面是冗余的 ，在这个面上，惟独v是x对于光阴求一阶导的点才对于运分心义的道路。在这些分心义的函数点所连成的线上做一阶变分 ，变分为0的驻点对于应的道路函数就理当是物体的着实道路 ，这些点就彷佛“山谷” 、“山脊”概况“鞍点” ，而“山坡”所对于应的点就不是物体的着实道路 。
（用函数空间中的曲面清晰变分驻点 。这里x轴以及v轴尽管垂直 ，但对于分心义的道路而言它们并非自力的）
有读者会留意到当初惟独要了一阶变分为0 ，它对于应的是取极值的驻点 ，但并不能分说它是极小 、极大仍是一个鞍点 ，为甚么会叫它“最小熏染量道理”呢 ？这着实是一个习气的叫法 ，更严厉的叫法理当是平稳熏染量道理（principle of stationary action） 。在大部份情景下 ，妄想进去的F在实际行动道路下简直取的是泛函极小值，它的二阶变分大于0 ，是一个位于山谷的凹点 。
妄想拉格朗日量以及熏染量 ，建树拉格朗日力学
那末被积函数F在甚么样的函数方式下 ，求进去的驻点对于应的道路恰正是牛顿第二定律呢 ？在不思考非激进力（好比磨擦力或者洛伦兹力）的情景下 ，拉格朗日给出的服从是，被积函数F即是动能T减去势能V ，这称为拉格朗日量
拉格朗日量对于光阴的积分S也被正式命名为熏染量 。适才患上到的对于变分取极值的方程也正式酿成为了欧拉-拉格朗日方程
下面的拉格朗日量是动能以及势能的函数 ，简直很像电能源学中第一层的电势以及磁矢势 。张背阴再次以逍遥落体举例。在这里 ，重物的动能为
重力势能为
以是拉格朗日量为
代入欧拉-拉格朗日方程
患上到的行动方程偏偏以及牛顿的行动定律不同
再来思考另一个例子。有一物体套在滑杆上，它在重力的熏染下往下滑 。杆子的形态并不法则 ，在笛卡尔坐标系中需要两个直角坐标来表述 。可是由于物体被约束在了杆子上 ，它惟独1个逍遥度 ，以是可能只用一个坐标来形貌它的行动 。
（在物体沿杆下滑下场中 ，惟独一个行动逍遥度）
设物体的初始位置为坐标原点，取沿杆走过的长度l(t)作为形貌物体行动的坐标 ，每一个l对于应一个高度h(l) ，它的拉格朗日量是
代入欧拉-拉格朗日方程
患上到
这也以及牛顿定律是不同的 。由于在滑杆上 ，歪斜角的正弦值sinθ便是高度对于沿杆长度的变更率dh/dl，而经由力的矢量分解 ，重力沿杆倾向的份量正是重力乘以歪斜角的正弦值 ，以是上式着实是物体在物体沿杆倾向上牛顿第二定律 。而在垂直于杆的倾向上 ，物体的重力份量以及杆的反对于力相互对于消 ，物体被牢牢地约束住了 ，不行动逍遥度。
在欧拉-拉格朗日方程中 ，经由对于拉格朗日量做微分 ，可能患上到牛顿力学里的减速率以及力 。反以前 ，也可能对于牛顿行动方程做积分 ，来看看它是否回到拉格朗日力学的动能以及势能 。令上式双方对于行动道路求积分 ，右侧患上到
第二个等号中把积分变量交流成为了dt，第三个等号又交流成为了dv，积进去的正是动能 。对于右侧积分患上到
它正是重力势能的减大批。把双方放在一起看 ，不难发现它便是机械能守恒
（张背阴推导机械能守恒）
经由这个不法则形态的杆的例子，可能发现拉格朗日力学做作地把行动约束思考进了坐标里 ，它不用定是笛卡尔的直角坐标 ，也不用定是极坐标概况球坐标 ，惟独能找到适宜的狭义坐标 ，就能实用地用行动约束削减微分方程的数目 。一个逍遥度可能用一个狭义坐标以及狭义速率来形貌 ，假如有n个行动逍遥度，拉格朗日量便是对于n个狭义坐标以及n个狭义速率的标量函数
它对于这n组狭义坐标以及速率，有n个欧拉-拉格朗日方程
另一方面 ，比照于牛顿力学 ，拉格朗日力学只用思考拉格朗日量一个标量 ，而不波及对于力的矢量合成 。尽管牛顿力学更抽象直不雅 ，但在某些受力情景重大的系统中 ，拉格朗日力学能更利便地患上出物体行动所知足的微分方程 。其后的量子力学以及量子场论也借鉴了其中的良多意见 。
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